دالة زيتا خاصة ريمان...

نرجع الر الرياضيات...
فهى من المؤكد عمل بناء رغم رأى فيتغنستين Wittgenstein...
لانه على الاقل يمكن ان نتحقق بأنفسنا مما تحتويه...
ولا تقول لى حجية المنطق و لا عقيدة السلف و لا حب آل البيت...
فقد نفرت من كل هؤلاء..بسبب النقاشات الشديدة السلبية لكثير منهم....

ندخل فى الموضوع...
نعتبر السلسلة-سلسلة رامانوجان Ramanujan-المعطاة ب
sum(N)=1+2+3+...+N
هذه سلسلة حسابية مجموعها معروف-يحسب فى البكالوريا- هو
sum(N)=N(N+1)/2
اذن السلسة تزداد كلما زاد N ..
وعندما N يذهب الى مالانهاية فإن السلسلة تذهب الى مالا نهاية..نقول ان السلسلة متباعدة divergent..
لكن هل يمكن ان نعطى نتيجة محددة لهذه السلسة?...
الجواب نعم...
اقول لكم النتيجة مباشرة..
sum(infinity)=1+2+3+....=-1/12
هل تصدقون هذه النتيجة?
شخصيا مازلت لحد الآن لا اصدق هذا الامر رغم أننى اعرف عدة براهين على هذه النتيجة...
احسن برهان على هذه العلاقة هو باستعمال تسوية قطعية cutoff regularization اى أخذ N منته ثم استخراج التصرف المقارب asymptotic behavior لما يذهب N الى ما لا نهاية...وهذا رأيى..وانا شخصيا افضل هذه الطريقة لانها تتفادى التعامل مع المالانهاية بصورة مباشرة...
لكن دعنا نشرح البرهان الاشهر باستعمال التحليل الاستمرارى analytical continuation و دالة زيتا خاصة ريمان Rieman zeta function...
نُعوض السلسة اعلاها بالسلسلة التالية
zeta(s)=1**(-s)+2**(-s)+3**(-s)+...+infinity**(-s)
من الواضح اننا نحصل على السلسلة الاولى بأختيار s=-1 ....
هذه السلسلة تُعَرِف ما يسمى دالة زيتا خاصة ريمان فى المجال s أكبر من 1 حيث تكون هذه السلسلة متقاربة convergent...
فى الحقيقة هذه السلسلة متقاربة من اجل جميع القيم المركبة ل s التى يكون جزءها الحقيقى اكبر من واحد...
هنا علينا ان نؤكد على شيئ..
دالة زيتا خاصة ريمان-المرسومة فى الصورة- شيئ و السلسة اعلاه شيئ آخر..
السلسلة اعلاه تُعرف دالة زيتا فقط فى المجال s أكبر من واحد...
القيمة 1 هى قطب لدالة ريمان..
ونحن نحتاج ان نمر غبر هذا القطب للوصول الى القيمة -1 التى نحتاجها..
هذا الامر نقوم به عبر اجراء ما يسمى التحليل الاستمرارى analytic continuation للسلسلة اعلاه الى المجال الذى يحتوى القيمة -1 ..
من الواضح ايضا ان هذا يعنى بالضرورة الخروج من المحور الحقيقى الى المستوى المركب...
سنقوم بكل هذه الامور ضمنيا وليس بشكل مباشر بالطريقة التالية...
نكتب السلسة اعلاه على الشكل
eta(s)=(1-2**(1-s))*zeta(s)=1**(-s)-2**(-s)+3**(-s)-4**(-s)+....infinity**(-s)
النشر اعلاه هو نشر دالة ايتا خاصة دريشلى Dirichlet eta function ...
بأخذ s يساوى -1 وهى القيمة التى نريدها منذ البداية لنحصل على
eta(-1)=-3*zeta(-1)=1-2+3-4+5-6...
السلسة الاخيرة التى تحصلنا عليها هى بالضبط نشر الدالة
f(x)=1/(1+x)**2=1-2x+3x**2-4x**3+...infinity
عند النقطة x=1 ...
اذن
eta(-1)=-3*zeta(-1)=1/4
وهو المراد اى..
zeta(-1)=-1/12=1+2+3+4+..........+infinity
سبحان الله..
والله مازلت غير مصدق!!!!